Ejemplos de números irracionales

Publicado el: 10 May 2018 por Ruben, guardado en: Ciencia y Salud, Educación

Todos los números irracionales son aquellos que no pueden que no se pueden convertir en una fracción. Son muchos estos números, de modo que para que los entendáis mejor y sepáis como trabajar con ellos, vemos a continuación cuáles son los Ejemplos de números irracionales.

irracionales

Los números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción. También se puede definir como “cualquier número real que no es racional”.

Fuera de las matemáticas, usamos la palabra “irracional” para significar loco o ilógico; sin embargo, para un matemático, irracional se refiere a un tipo de número que no se puede escribir como una fracción (razón) usando solo números de conteo positivos y negativos (números enteros). Por ejemplo, puede escribir el número racional 2.11 como 211/100, pero no se puede convertir el número irracional ‘raíz cuadrada de 2’ en una fracción exacta de ningún tipo.

Los ejemplos de números irracionales son 2 1/2 (la raíz cuadrada de 2), 3 1/3 (la raíz cúbica de 3), la relación circular pi y la base del logaritmo natural e. Las cantidades 2 1/2 y 3 1/3 son ejemplos de números algebraicos. Pi y e son ejemplos de irracionales especiales conocidos como números trascendentales. La expansión decimal de un número irracional es siempre no determinante (nunca termina) y no repetitiva (los dígitos no muestran un patrón repetitivo).

Si x y z son irracionales tales que x <z, entonces siempre existe una irracional y tal que x <y <z. El conjunto de irracionales es “denso”, como el conjunto Q de los racionales. Pero teóricamente, el conjunto de irracionales es “más denso”. A diferencia de Q, el conjunto de irracionales no es numerable. Hay más decimales no concluyentes y no repetitivos de los que es posible enumerar, incluso por implicación. Para probar esto, supongamos que hay una lista implícita de todos los números decimales no recurrentes y no repetitivos entre 0 y 1. Cada uno de esos números consta de un cero seguido de un punto decimal, seguido de una secuencia infinita de dígitos del conjunto {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Supongamos que los elementos de la lista se denotan x 1, x 2, x 3, … y los dígitos en los números se denotan como ii. La lista se puede escribir así:

x 1 = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 …
x 2 = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 …
x 3 = 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 …
x 4 = 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 …
x 5 = 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 …
x 6 = 0. a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 …

Aunque no conocemos los valores reales de ninguno de los dígitos, es fácil imaginar un número entre 0 y 1 que no puede estar en esta lista. Piense en un número y de la siguiente forma:

y = 0. b 11 b 22 b 33 b 44 b 55 b 66 …

de tal manera que no b ii en y sea igual al a ii correspondiente en la lista. El número y resultante no es determinante ni se repite, está entre 0 y 1, pero no es igual a cualquier x i de la lista, porque siempre hay al menos un dígito que no coincide.

La no denumerabilidad del conjunto de números irracionales tiene implicaciones de largo alcance. Quizás lo más extraño sea la noción de que “no todas las infinidades son creadas iguales”. Aunque el conjunto de racionales y el conjunto de irracionales son ambos infinitos, el conjunto de irracionales es mayor de una manera demostrable.

A continuación te mostraré algunos ejemplos de números irracionales para que te quede más claro el concepto.

Propiedades de los números irracionales

Antes de mostrar los ejemplos, explicaré algunas de las propiedades de este tipo de números, que han sido investigados desde hace miles de años por matemáticos de todos los rincones del globo terráqueo, dada su extraña naturaleza:

* Entre dos números racionales diferentes siempre existe un número irracional como mínimo.

* El número de Gelfand es un número irracional trascendente.

* El inverso de un número irracional es otro número irracional.

Ejemplos de números irracionales

Los números irracionales más conocidos y útiles, a menudo se identifican con un símbolo. Se trata de números con decimales infinitos, por lo que las fracciones no permiten representarlos. Es por ello que son buenos ejemplos de números irracionales. Entre ellos encontramos los siguientes:

* Número Pi (3,14159…): Se trata de la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Probablemente, se trate del número irracional más conocido y famoso, por sus importantes implicaciones en física y geometría. La gente ha calculado Pi a más de un cuatrillón de lugares decimales y todavía no hay un patrón. Los primeros dígitos se ven así: 3,1415926535897932384626433832795 (y más …)

* Número e (2,7182…): Uno de los números reales más importantes en matemáticas. El número lleva el nombre de Leonard Euler , quien LO presentó por primera vez en 1731 en una carta que escribió; sin embargo, él había comenzado a usar el número en 1727 o 1728. siendo un número universal. El comienzo de este número escrito es 2.71828. e es el límite de (1 + 1 / n) n cuando n se acerca al infinito. Esta expresión es parte de la discusión que rodea el tema del interés compuesto.  Las personas también han calculado e a muchos lugares decimales sin mostrar ningún patrón. Los primeros dígitos se ven así: 2,7182818284590452353602874713527 (y más …)

* Número Áureo (1,6180…): Muy relacionado con la estética y la belleza. Presente en la naturaleza.  Los primeros dígitos se ven así: 1,61803398874989484820 … (y más …)

*La raíz cuadrada de 2, escrita como √2, también es un número irracional. La primera parte de este número se escribirá como 1.41421356237 … pero los números continúan hasta el infinito y nunca se repiten, y nunca terminan. Una raíz cuadrada es lo opuesto a cuadrar un número, lo que significa que la raíz cuadrada de dos veces la raíz cuadrada de dos es igual a dos. Esto significa que 1.41421356237 … multiplicado por 1.41421356237 … es igual a dos, pero es difícil ser exacto al mostrar esto porque la raíz cuadrada de dos no termina, por lo tanto, cuando realizas la multiplicación, el número resultante será cercano a dos, pero en realidad no serán dos exactamente. Debido a que la raíz cuadrada de dos nunca se repite y nunca termina, es un número irracional. Muchas otras raíces cuadradas y raíces en cubos son números irracionales; sin embargo, no todas las raíces cuadradas son como: √3 1,7320508075688772935274463415059 (etc.) así como √99 9,9498743710661995473447982100121 (etc.)

Espero que con estos ejemplos de números irracionales te haya quedado un poco más claro qué es un número irracional, por qué son importantes, y cuál es su utilidad. Debes tener en cuenta que muchos de estos números irracionales son ampliamente utilizados en matemáticas, y no únicamente como una curiosidad matemática, sino con profundas implicaciones en las investigaciones y posteriores desarrollos. Es por ello que es conveniente conocerlos.

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